Betrachtet man den Verlauf der Funktion

f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 - 3x - 100

im Intervall:

x # [-100.000; 100.000]

so kann die Funktion durch die folgenden Eigenschaften und charakteristischen Punkte beschrieben werden:

a) Ableitungen der Funktion

Zuerst werden alle notwendigen Ableitungen der Funktion gebildet:

> f'(x) = 4*x^3+3*x^2+6*x-3

> f''(x) = 12*x^2+6*x+6

> f'''(x) = 24*x+6

Hinweis: Das Programm kann derzeit leider noch nicht kürzen, was natürlich wünschenswert wäre.

b) Lokale Extrema (Minimum und Maximum)

Um eine geeignete Bedingung zu erhalten betrachten wir den Verlauf der Funktion f(x) und den Verlauf der 1. und 2. Ableitungsfunktion f '(x) und f ''(x)

• Lokales Maximum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) < 0 (hinreichende Bedingung)
• Lokales Minimum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) > 0 (hinreichende Bedingung)

Daraus folgt:

f '(x) = 4*x^3+3*x^2+6*x-3

f '(x) = 0

4*x^3+3*x^2+6*x-3 = 0

> Nullstellen: x1=0.39

Jetzt wird der Wert der Nullstelle der ersten Ableitung (x1) in die zweite Ableitung eingesetzt.

f ''(x) = 12*x^2+6*x+6

f ''(x1) = f ''(0.39) = 10.11 > 0 --> Lokales Minimum

Nach Einsetzen dieser Nullstellen in die Ursprungsfunktion betragen die Lokalen Extrema max/min bzw. Hoch- und Tiefpunkt (H/T) somit:

> T: min(0.39;-100.63)

c) Wendestellen

Betrachtet man den Verlauf von f(x) und f ''(x), so erkennt man, dass im Wendepunkt die 2. Ableitungsfunktion den Funktionswert Null aufweist.

• Wendepunkt: f ''(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f '''(x) <> 0 (hinreichende Bedingung)

Somit die 2. Ableitung zu Null setzen und wenn die 3. Ableitung ungleich Null ist, dann handelt es sich um einen Wendepunkt. Ob es sich beim Wendepunkt um einen Sattelpunkt handelt, wird später über die Lage der Tangente ermittelt.

f ''(x) = 12*x^2+6*x+6

f ''(x) = 0

12*x^2+6*x+6 = 0